Sejarah Matematika Dari Berbagai Sisi
Secara Geografis
1. Mesopotamia
- Menentukan system bilangan pertama kali
- Menemukan system berat dan ukur
- Tahun 2500 SM system desimal tidak lagi digunakan dan lidi diganti oleh notasi berbentuk baji
2. Babilonia
- Menggunakan sitem desimal dan π=3,125
- Penemu kalkulator pertama kali
- Mengenal geometri sebagai basis perhitungan astronomi
- Menggunakan pendekatan untuk akar kuadrat
- Geometrinya bersifat aljabaris
- Aritmatika tumbuh dan berkembang baik menjadi aljabar retoris yang berkembang
- Sudah mengenal teorema Pythagoras
3. Mesir Kuno
- Sudah mengenal rumus untuk menghitung luas dan isi
- Mengenal system bilangan dan symbol pada tahun 3100 SM
-Mengenal tripel Pythagoras
- Sitem angka bercorak aditif dan aritmatika
- Tahun 300 SM menggunakan system bilangan berbasis 10
4. Yunani Kuno
- Pythagoras membuktikan teorema Pythagoras secara matematis (terbaik)
- Pencetus awal konsep[ nol adalah Al Khwarizmi
- Archimedes mencetuskan nama parabola, yang artinya bagian sudut kanan kerucut
- Hipassus penemu bilangan irrasional
- Diophantus penemu aritmatika (pembahasan teori-teori bilangan yang isinya merupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat sebuah persamaan)
- Archimedes membuat geometri bidang datar
- Mengenal bilangan prima
5. India
- Brahmagyupta lahir pada 598-660 Ad
- Aryabtha (4018 SM) menemukan hubungan keliling sebuah lingkaran
- Memperkenalkan pemakaian nol dan desimal
- Brahmagyupta menemukan bilangan negatif
- Rumus a2+b2+c2 telah ada pada “Sulbasutra”
- Geometrinya sudah mengenal tripel Pythagoras,teorema Pythagoras,transformasi dan segitiga pascal
6. China
- Mengenal sifat-sifat segitiga siku-siku tahun 3000 SM
- Mengembangkan angka negatif, bilangan desimal, system desimal, system biner, aljabar, geometri, trigonometri dan kalkulus
- Telah menemukan metode untuk memecahkan beberapa jenis persamaan yaitu persamaan kuadrat, kubikdan qualitik
- Aljabarnya menggunakan system horner untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
Berdasarkan Tokoh
1. Thales (624-550 SM)
Dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan teorema atau proposisi, dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid. Landasan matematika sebagai ilmu terapan rupanya sudah diletakan oleh Thales sebelum muncul Pythagoras yang membuat bilangan.
2. Pythagoras (582-496 SM)
Pythagoras adalah orang yang pertama kali mencetuskan aksioma-aksioma, postulat-postulat yang perlu dijabarkan ter lebih dahulu dalam mengembangkan geometri. Pythagoras bukan orang yang menemukan suatu teorema Pythagoras namun dia berhasil membuat pembuktian matematis.
3. Socrates (427-347 SM)
Ia merupakan seorang filosofi besar dari Yunani. Dia juga menjadi pencipta ajaran serba cita, karena itu filosofinya dinamakan idealisme. Ajarannya lahir karena pergaulannya dengan kaum sofis. Plato merupakan ahli piker pertama yang menerima paham adanya alam bukan benda.
4. Ecluides (325-265 SM)
Euklides disebut sebagai “Bapak Geometri” karena menemuka teori bilangan dan geometri. Subyek-subyek yang dibahas adalah bentuk-bentuk, teorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen,geometri ruang, teori proporsi dan lain-lain. Alat-alat temuan Eukluides antara lain mistar dan jangka.
5. Archimedes (287-212 SM)
Dia mengaplikasikan prinsip fisika dan matematika. Dan juga menemukan perhitungan π (pi) dalam menghitung luas lingkaran. Ia adalah ahli matematika terbesar sepanjang zaman dan di zaman kuno. Tiga kaaarya Archimedes membahas geometri bidang datar, yaitu pengukuran lingkaran, kuadratur dari parabola dan spiral.
6. Appolonius (262-190 SM)
Konsepnya mengenai parabola, hiperbola, dan elips banyak memberi sumbangan bagi astronomi modern. Ia merupakan seorang matematikawan tang ahli dalam geometri. Teorema Appolonius menghubungkan beberapa unsur dalam segitiga.
7. Diophantus (250-200 SM)
Ia merupakan “Bapak Aljabar” bagi Babilonia yang mengembangkan konsep-konsep aljabar Babilonia. Seorang matematikawan Yunani yang bermukim di Iskandaria. Karya besar Diophantus berupa buku aritmatika, buku karangan pertama tentang system aljabar. Bagian yang terpelihara dari aritmatika Diophantus berisi pemecahan kira-kira 130 soal yang menghasilkan persamaan-persamaan tingkat pertama.
8. Sir Isaac Newton
-Newton mencetuskan adanya prinsip kekekalan momentum dan momentum sudut.
-Membangun teleskop refleksi yang pertama.
-Mengembangkan teori warna berdasarkan pengamatan bahwa sebuah kaca prisma akan membagi cahaya putih menjadi warna-warna lainnya.
-Merumuskan hukum pendinginan dan mempelajari kecepatan suara.
-Bersama Gottfried Leibniz yang dilakukan secara terpisah, Newton mengembangkan kalkulus diferensial dan kalkulus integral.
-Menjabarkan teori binomial, mengembangkan "metode Newton" untuk melakukan pendekatan terhadap nilai nol suatu fungsi, dan berkontribusi terhadap kajian deret pangkat.
-Sebuah survei tahun 2005 yang menanyai para ilmuwan dan masyarakat umum di Royal Society mengenai siapakah yang memberikan kontribusi lebih besar dalam sains, apakah Newton atau Albert Einstein, menunjukkan bahwa Newton dianggap memberikan kontribusi yang lebih besar.
9. Albert Einstein
Mengemukakan teori relativitas dan juga banyak menyumbang bagi pengembangan mekanika kuantum, mekanika statistik, dan kosmologi. Dia dianugerahi Penghargaan Nobel dalam Fisika pada tahun 1921 untuk penjelasannya tentang efek fotoelektrik dan "pengabdiannya bagi Fisika Teoretis".
Pada tahun 1999, Einstein dinamakan "Tokoh Abad Ini" oleh majalah Time. Kepopulerannya juga membuat nama "Einstein" digunakan secara luas dalam iklan dan barang dagangan lain, dan akhirnya "Albert Einstein" didaftarkan sebagai merk dagang.
Untuk menghargainya, sebuah satuan dalam fotokimia dinamai einstein, sebuah unsur kimia dinamai einsteinium, dan sebuah asteroid dinamai 2001 Einstein.
Rumus Einstein yang paling terkenal adalah E=mc²
10. Abū ʿAbdallāh Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī
Orang Pesrsia yang juga seorang mathematician, astronomer and geographer, seorang pelajar di the House of Wisdom in Baghdad. Buku nya yg berjudul al-Jabr wa-l-Muqabala menggambarkan solusi linier pertama dan persamaan quadratic. Pada abad ke-12, hasil karya nya dibidang bilangan india dan bilangan desimal diterjemahkan kedalam bahasa latin dan diperkenalkan ke dunia barat. Beliau juga merevisi Ptolemy’s Geography dan menulis tentang astronomi dan astrologi.
Kontribusinya sangat membuahkan hasil. Algebra adalah penurunan dari al-jabr, satu dari 2 operasi yg beliau gunakan untuk menyelesaikan persamaan quadratic. Algorism dan algorithm adalah terjemahan latin untuk nama beliau. Nama beliau dalam bahasa latin adalah guarismo dan algarismo (Bahasa Portugis) yg berarti digit.
Sumber : http://alisalvation.blogspot.com/2010/06/mengintip-sejarah-matematika-dari.html
Jumat, 26 November 2010
Rabu, 24 November 2010
Bilangan Bulat
Materi Kelas 3 Bilangan Bulat
1. Pengertian Bilangan Bulat
Bilangan bulat terdiri dari
- bilangan asli : 1, 2, 3, …
- bilangan nol : 0
- bilangan negatif : …, -3, -2, -1
Bilangan Bulat dinotasikan dengan : B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Bilangan lain yang berada dalam bilangan bulat, di antaranya adalah bilangan:
a. Cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, …}
b. Ganjil : J = {1, 3, 5, 7, …}
c. Genap : G = {2, 4, 6, 8, …}
d. Cacah Kuadrat : K = {0, 1, 4, 9, …}
e. Prima : {2, 3, 5, 7, 11, …}
2. Membandingkan Bilangan Bulat
Dengan memperhatikan tempat pada garis bilangan, dapat kita nyatakan (dalam contoh) bahwa :
a. 7 > 4, karena 7 terletak di sebelah kanan 4,
b. (-5) < 2, karena (-5) terletak di sebelah kiri 2, dan lain sebagainya.
3. Penjumlahan dan Sifatnya
Salah satu Rumus penting :
Contoh : 7 + (-10) = 7 – 10 = -3
Sifat-sifatnya :
a. Komutatif :
a + b = b + a
b. Asosiatif :
(a+b)+c=a+(b+c)
c. Tertutup :
misal a dan b bilangan bulat, maka (a+b) juga bilangan bulat
d. Memiliki identitas :
a + 0 = a, maka 0 disebut bilangan bulat
e. Invers penjumlahan :
a+(-a)=0, maka (-a) disebut sebagai invers dari a
4. Pengurangan
Pengurangan merupakan lawan (invers) dari penjumlahan.
Rumus :
a-b=a+(-b)
Contoh : 8 – (-2) = 8 + 2 = 10
5. Perkalian dan Sifatnya
contoh :
3 x (-2) = (-2) + (-2) + (-2)
Sifat-sifat :
a. Komutatif : a x b = b x a
b. Asosiatif : (a x b) x c = a x (b x c)
c. Tertutup : misal a dan b bilangan bulat, maka (a x b) juga bilangan bulat
d. Memiliki unsur identitas: a x 1 = a, maka 1 disebut identitas perkalian
e. Invers perkalian: a x (1/a) = 1, maka (1/a) disebut invers perkalian
dari a.
f. Distributif :
a x (b+c) = a x b + a x c
a x (b-c) = a x b - a x c
6. Pembagian
Pembagian adalah kebalikan (invers) dari perkalian.
Rumus :
a : b = a x 1/b
sumber : http://mathicsd.wordpress.com/2009/12/14/materi-kelas-3-bilangan-bulat/
1. Pengertian Bilangan Bulat
Bilangan bulat terdiri dari
- bilangan asli : 1, 2, 3, …
- bilangan nol : 0
- bilangan negatif : …, -3, -2, -1
Bilangan Bulat dinotasikan dengan : B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Bilangan lain yang berada dalam bilangan bulat, di antaranya adalah bilangan:
a. Cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, …}
b. Ganjil : J = {1, 3, 5, 7, …}
c. Genap : G = {2, 4, 6, 8, …}
d. Cacah Kuadrat : K = {0, 1, 4, 9, …}
e. Prima : {2, 3, 5, 7, 11, …}
2. Membandingkan Bilangan Bulat
Dengan memperhatikan tempat pada garis bilangan, dapat kita nyatakan (dalam contoh) bahwa :
a. 7 > 4, karena 7 terletak di sebelah kanan 4,
b. (-5) < 2, karena (-5) terletak di sebelah kiri 2, dan lain sebagainya.
3. Penjumlahan dan Sifatnya
Salah satu Rumus penting :
Contoh : 7 + (-10) = 7 – 10 = -3
Sifat-sifatnya :
a. Komutatif :
a + b = b + a
b. Asosiatif :
(a+b)+c=a+(b+c)
c. Tertutup :
misal a dan b bilangan bulat, maka (a+b) juga bilangan bulat
d. Memiliki identitas :
a + 0 = a, maka 0 disebut bilangan bulat
e. Invers penjumlahan :
a+(-a)=0, maka (-a) disebut sebagai invers dari a
4. Pengurangan
Pengurangan merupakan lawan (invers) dari penjumlahan.
Rumus :
a-b=a+(-b)
Contoh : 8 – (-2) = 8 + 2 = 10
5. Perkalian dan Sifatnya
contoh :
3 x (-2) = (-2) + (-2) + (-2)
Sifat-sifat :
a. Komutatif : a x b = b x a
b. Asosiatif : (a x b) x c = a x (b x c)
c. Tertutup : misal a dan b bilangan bulat, maka (a x b) juga bilangan bulat
d. Memiliki unsur identitas: a x 1 = a, maka 1 disebut identitas perkalian
e. Invers perkalian: a x (1/a) = 1, maka (1/a) disebut invers perkalian
dari a.
f. Distributif :
a x (b+c) = a x b + a x c
a x (b-c) = a x b - a x c
6. Pembagian
Pembagian adalah kebalikan (invers) dari perkalian.
Rumus :
a : b = a x 1/b
sumber : http://mathicsd.wordpress.com/2009/12/14/materi-kelas-3-bilangan-bulat/
Ruang Sampel dan Titik Sampel
Pengertian Ruang Sampel dan Titik Sampel
Definisi ruang sampel :
Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan/kejadian.
Ruang sampel suatu percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram pohon atau tabel.
Definisi titik sampel :
Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-kemungkinan yang muncul.
Contoh :
1. Pada percobaan melempar dua buah mata uang logam (koin) homogen yang bersisi angka (A) dan gambar (G) sebanyak satu kali. Tentukan ruang sampel percobaan tersebut.
Jawab :
a.
Diagram pohon:
Kejadian yang mungkin :
AA : Muncul sisi angka pada kedua koin
AG : Muncul sisi angka pada koin 1 dan sisi gambar pada koin 2
b.
Tabel:
Ruang sampel = { (A,A), (A,G), (G,A), (G,G) }
Banyak titik sampel ada 4 yaitu (A,A), (A,G), (G,A), dan (G,G).
2. Dua dadu homogen berbentuk kubus bermata 6 dilempar bersama-sama sebanyak satu kali. Tentukan ruang sampel pada percobaan tersebut.
Jawab :
Tabel:
Titik sampelnya ada sebanyak 36 kemungkinan
3. Seperangkat kartu bridge dikocok, lalu diambil satu kartu secara acak. Tentukan ruang sampel percobaan tersebut ?
Jawab :
Seperangkat kartu bridge berisi 52 kartu yang terdiri dari empat kelompok yang dikenal dengan istilah daun / sekop ( ), keriting ( ), wajik ( ) dan hati ( ). Kartu daun dan keriting berwarna hitam, sedang wajik dan hati berwarna merah. Setiap kelompok bentuk tadi masing-masing terdiri dari King, Ratu, Joker, As, angka 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10. Jika seperangkat kartu itu dikocok dan diambil satu kartu secara acak, maka kejadian yang mungkin ada sebanyak 52 kemungkinan.
2.Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Definisi kejadian :
Kejadian atau peristiwa merupakan himpunan bagian dari ruang sampel
Definisi peluang :
Peluang suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik sampel kejadian yang diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel kejadian tersebut.
Misalkan A adalah suatu kejadian yang diinginkan, maka nilai peluang kejadian A dinyatakan dengan
Peluang disebut juga dengan nilai kemungkinan.
Contoh :
Pada percobaan melempar sebuah dadu bermata 6, pada ruang sampelnya terdapat sebanyak 6 titik sampel, yaitu munculnya sisi dadu bermata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.
Kejadian-kejadian yang mungkin terjadi misalnya :
* Munculnya mata dadu ganjil
* Munculnya mata dadu genap
* Munculnya mata dadu prima
Jika pada percobaan tersebut diinginkan kejadian munculnya mata dadu prima, maka mata dadu yang diharapkan adalah munculnya mata dadu 2, 3, dan 5, atau sebanyak 3 titik sampel. Sedang banyaknya ruang sampel adalah 6, maka peluang kejadian munculnya mata dadu prima adalah
Atau:
Menyatakan nilai peluang suatu kejadian pada suatu percobaan dapat dinyatakan dengan menggunakan cara :
Contoh:
Pada percobaan melempar sebuah koin bersisi angka (A) dan gambar (G) dengan sebuah dadu bermata 1 sampai 6 bersama-sama sebanyak satu kali. Berapa peluang munculnya pasangan koin sisi gambar dan dadu mata ganjil ?
Banyaknya kejadian munculnya pasangan gambar dan mata dadu ganjil ada 3, yaitu (G,1), (G,3) dan (G,5). Peluang kejadian munculnya pasangan gambar dan mata dadu ganjil adalah
Batas-Batas Nilai Peluang
Nilai peluang suatu kejadian (P) memenuhi sifat , yang berarti
Jika P = 0, maka kejadian tersebut tidak pernah terjadi atau suatu kemustahilan
Jika P = 1, maka kejadian tersebut merupakan kepastian.
Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi, dan A’ adalah suatu kejadian dimana A tidak terjadi,
maka :
Contoh:
1. Sebuah dadu berbentuk mata enam dilempar sekali. Tentukan nilai peluang :
a. munculnya mata dadu bilangan asli
b. munculnya mata dadu 7
Jawab :
a. Nilai peluang munculnya mata dadu bilangan asli adalah 1, karena merupakan suatu kepastian.
b. Nilai peluang munculnya mata dadu 7 adalah 0, karena merupakan suatu kemustahilan
2. Dua buah dadu kubus homogen bermata enam dilempar bersama-sama sebanyak satu kali. Berapakah peluang munculnya mata dadu tidak berjumlah 12 ?
Jawab :
Banyaknya ruang sampel percobaan tersebut ada 36 kejadian, sedang kejadian muncul mata dadu berjumlah 12 ada 1 kejadian yaitu (6,6), sehingga :
3. Frekuensi Harapan
2. Di suatu daerah kemungkinan akan terjadi serangan penyakit pada ternak ayam adalah 0,24. Jika populasi ayam di daerah tersebut terdapat sebanyak 400 ekor, berapa ekor ayam yang kemungkinan akan terkena penyakit tersebut ?
Jawab :
Banyaknya ayam yang kemungkinan akan terkena penyakit di daerah tersebut
= nilai kemungkinan terjadi penyakit x populasi ayam
= 0,24 x 400 ekor
= 96 ekor ayam
4. Menghitung Nilai Peluang Suatu Kejadian Sederhana
Menentukan nilai peluang kejadian sederhana dari suatu peristiwa adalah dengan mengetahui terlebih dahulu semua kejadian yang mungkin (ruang sampel) dan kejadian-kejadian yang diinginkan (titik sampel).
Contoh :
1. Pada peristiwa melempar dua buah dadu, merah dan hitam, masing-
masing bermata 1 sampai 6 secara bersama-sama sebanyak satu kali. Berapakah nilai peluang kejadian-kejadian :
a. muncul mata 4 dadu merah atau mata ganjil dadu hitam
b. muncul mata dadu merah kurang dari 3 dan mata dadu hitam lebih dari 4
Jawab :
Ruang sampel ada sebanyak 36 kemungkinan.
a. kejadian muncul mata 4 dadu merah atau mata ganjil dadu hitam ada sebanyak 21 kemungkinan pasangan, maka peluangnya adalah :
b. kejadian muncul mata dadu merah kurang dari 3 dan mata dadu hitam lebih dari 4 ada sebanyak 4 kejadian, yaitu (1,5), (2,5), (1,6) dan (2,6), maka nilai peluangnya adalah :
2. Di dalam sebuah kotak terdapat 6 bola warna hitam, 8 bola warna merah dan 10 bola warna kuning. Diambil sebuah bola secara acak dan tidak dikembalikan. Tentukan nilai peluang terambil berturut-turut :
a. bola hitam
b. bola kuning
c. bola merah
3. Seperangkat kartu bridge dikocok dan diambil satu kartu secara acak. Berapa peluang bahwa kartu yang terambil adalah :
a. kartu warna merah
b. kartu As atau King
c. kartu hitam dan Ratu
Jawab :
Ruang sampel ada 52 kemungkinan.
a. Kartu warna merah ada 26, maka peluangnya adalah :
b. Kartu as ada 4 buah dan kartu king ada 4 buah, maka peluangnya adalah :
Kejadian terambil kartu As atau kartu King seperti di atas merupakan kejadian saling lepas, yaitu tidak ada kejadian yang menjadi anggota kedua kejadian tersebut.
c. Kartu hitam ada 26 buah dan kartu Ratu ada 4 buah, maka peluangnya adalah :
Kejadian terambil kartu warna hitam dan kartu Ratu seperti di atas merupakan kejadian saling bebas, yaitu kejadian-kejadian yang peluangnya tidak saling mempengaruhi satu sama lain.
sumber : http://e-ducation-center.blogspot.com/2009/05/teori-peluang-matematika-smp-kelas-vii.html
Definisi ruang sampel :
Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan/kejadian.
Ruang sampel suatu percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram pohon atau tabel.
Definisi titik sampel :
Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-kemungkinan yang muncul.
Contoh :
1. Pada percobaan melempar dua buah mata uang logam (koin) homogen yang bersisi angka (A) dan gambar (G) sebanyak satu kali. Tentukan ruang sampel percobaan tersebut.
Jawab :
a.
Diagram pohon:
Kejadian yang mungkin :
AA : Muncul sisi angka pada kedua koin
AG : Muncul sisi angka pada koin 1 dan sisi gambar pada koin 2
b.
Tabel:
Ruang sampel = { (A,A), (A,G), (G,A), (G,G) }
Banyak titik sampel ada 4 yaitu (A,A), (A,G), (G,A), dan (G,G).
2. Dua dadu homogen berbentuk kubus bermata 6 dilempar bersama-sama sebanyak satu kali. Tentukan ruang sampel pada percobaan tersebut.
Jawab :
Tabel:
Titik sampelnya ada sebanyak 36 kemungkinan
3. Seperangkat kartu bridge dikocok, lalu diambil satu kartu secara acak. Tentukan ruang sampel percobaan tersebut ?
Jawab :
Seperangkat kartu bridge berisi 52 kartu yang terdiri dari empat kelompok yang dikenal dengan istilah daun / sekop ( ), keriting ( ), wajik ( ) dan hati ( ). Kartu daun dan keriting berwarna hitam, sedang wajik dan hati berwarna merah. Setiap kelompok bentuk tadi masing-masing terdiri dari King, Ratu, Joker, As, angka 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10. Jika seperangkat kartu itu dikocok dan diambil satu kartu secara acak, maka kejadian yang mungkin ada sebanyak 52 kemungkinan.
2.Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Definisi kejadian :
Kejadian atau peristiwa merupakan himpunan bagian dari ruang sampel
Definisi peluang :
Peluang suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik sampel kejadian yang diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel kejadian tersebut.
Misalkan A adalah suatu kejadian yang diinginkan, maka nilai peluang kejadian A dinyatakan dengan
Peluang disebut juga dengan nilai kemungkinan.
Contoh :
Pada percobaan melempar sebuah dadu bermata 6, pada ruang sampelnya terdapat sebanyak 6 titik sampel, yaitu munculnya sisi dadu bermata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.
Kejadian-kejadian yang mungkin terjadi misalnya :
* Munculnya mata dadu ganjil
* Munculnya mata dadu genap
* Munculnya mata dadu prima
Jika pada percobaan tersebut diinginkan kejadian munculnya mata dadu prima, maka mata dadu yang diharapkan adalah munculnya mata dadu 2, 3, dan 5, atau sebanyak 3 titik sampel. Sedang banyaknya ruang sampel adalah 6, maka peluang kejadian munculnya mata dadu prima adalah
Atau:
Menyatakan nilai peluang suatu kejadian pada suatu percobaan dapat dinyatakan dengan menggunakan cara :
Contoh:
Pada percobaan melempar sebuah koin bersisi angka (A) dan gambar (G) dengan sebuah dadu bermata 1 sampai 6 bersama-sama sebanyak satu kali. Berapa peluang munculnya pasangan koin sisi gambar dan dadu mata ganjil ?
Banyaknya kejadian munculnya pasangan gambar dan mata dadu ganjil ada 3, yaitu (G,1), (G,3) dan (G,5). Peluang kejadian munculnya pasangan gambar dan mata dadu ganjil adalah
Batas-Batas Nilai Peluang
Nilai peluang suatu kejadian (P) memenuhi sifat , yang berarti
Jika P = 0, maka kejadian tersebut tidak pernah terjadi atau suatu kemustahilan
Jika P = 1, maka kejadian tersebut merupakan kepastian.
Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi, dan A’ adalah suatu kejadian dimana A tidak terjadi,
maka :
Contoh:
1. Sebuah dadu berbentuk mata enam dilempar sekali. Tentukan nilai peluang :
a. munculnya mata dadu bilangan asli
b. munculnya mata dadu 7
Jawab :
a. Nilai peluang munculnya mata dadu bilangan asli adalah 1, karena merupakan suatu kepastian.
b. Nilai peluang munculnya mata dadu 7 adalah 0, karena merupakan suatu kemustahilan
2. Dua buah dadu kubus homogen bermata enam dilempar bersama-sama sebanyak satu kali. Berapakah peluang munculnya mata dadu tidak berjumlah 12 ?
Jawab :
Banyaknya ruang sampel percobaan tersebut ada 36 kejadian, sedang kejadian muncul mata dadu berjumlah 12 ada 1 kejadian yaitu (6,6), sehingga :
3. Frekuensi Harapan
2. Di suatu daerah kemungkinan akan terjadi serangan penyakit pada ternak ayam adalah 0,24. Jika populasi ayam di daerah tersebut terdapat sebanyak 400 ekor, berapa ekor ayam yang kemungkinan akan terkena penyakit tersebut ?
Jawab :
Banyaknya ayam yang kemungkinan akan terkena penyakit di daerah tersebut
= nilai kemungkinan terjadi penyakit x populasi ayam
= 0,24 x 400 ekor
= 96 ekor ayam
4. Menghitung Nilai Peluang Suatu Kejadian Sederhana
Menentukan nilai peluang kejadian sederhana dari suatu peristiwa adalah dengan mengetahui terlebih dahulu semua kejadian yang mungkin (ruang sampel) dan kejadian-kejadian yang diinginkan (titik sampel).
Contoh :
1. Pada peristiwa melempar dua buah dadu, merah dan hitam, masing-
masing bermata 1 sampai 6 secara bersama-sama sebanyak satu kali. Berapakah nilai peluang kejadian-kejadian :
a. muncul mata 4 dadu merah atau mata ganjil dadu hitam
b. muncul mata dadu merah kurang dari 3 dan mata dadu hitam lebih dari 4
Jawab :
Ruang sampel ada sebanyak 36 kemungkinan.
a. kejadian muncul mata 4 dadu merah atau mata ganjil dadu hitam ada sebanyak 21 kemungkinan pasangan, maka peluangnya adalah :
b. kejadian muncul mata dadu merah kurang dari 3 dan mata dadu hitam lebih dari 4 ada sebanyak 4 kejadian, yaitu (1,5), (2,5), (1,6) dan (2,6), maka nilai peluangnya adalah :
2. Di dalam sebuah kotak terdapat 6 bola warna hitam, 8 bola warna merah dan 10 bola warna kuning. Diambil sebuah bola secara acak dan tidak dikembalikan. Tentukan nilai peluang terambil berturut-turut :
a. bola hitam
b. bola kuning
c. bola merah
3. Seperangkat kartu bridge dikocok dan diambil satu kartu secara acak. Berapa peluang bahwa kartu yang terambil adalah :
a. kartu warna merah
b. kartu As atau King
c. kartu hitam dan Ratu
Jawab :
Ruang sampel ada 52 kemungkinan.
a. Kartu warna merah ada 26, maka peluangnya adalah :
b. Kartu as ada 4 buah dan kartu king ada 4 buah, maka peluangnya adalah :
Kejadian terambil kartu As atau kartu King seperti di atas merupakan kejadian saling lepas, yaitu tidak ada kejadian yang menjadi anggota kedua kejadian tersebut.
c. Kartu hitam ada 26 buah dan kartu Ratu ada 4 buah, maka peluangnya adalah :
Kejadian terambil kartu warna hitam dan kartu Ratu seperti di atas merupakan kejadian saling bebas, yaitu kejadian-kejadian yang peluangnya tidak saling mempengaruhi satu sama lain.
sumber : http://e-ducation-center.blogspot.com/2009/05/teori-peluang-matematika-smp-kelas-vii.html
Persamaan Linear
Persamaan Linear
1. Pengertian persaman linear
Persaman adalah kalimat terbuka yang mengandung hubungan (relasi) sama dengan. Sedangkan persamaan linear adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu atau berderajat satu.
2. Persamaan linear satu variabel
Bentuk umum :
ax + b = 0; a,bR, a 0
a = koefisien dari x
x = variabel
b = konstanta
Contoh:
a. 4x + 8 = 0
b. 68 -18 = 0
Kedua persamaan di atas akan bernilai benar jika variabelnya berturut-turut diganti dengan -2 dan 3.
Sifat-sifat persamaan linear
a. Nilai persamn tidak berubah, jika :
1) Kedua ruas ditambah atau dikurangi bilangan yang sama.
2) Kedua ruas dikalikan atau dibagi bilangan yang sama.
b. Suatu persamaan jika dipindahkan ruas, maka :
1) Penjumlahan berubah menjadi pengurangan dan sebaliknya.
2) Perkalian berubah menjadi pembagian dan sebaliknya.
Contoh:
a. + 3 = 12
+ 3 – 3 = 12 – 3 (kedua ruas dikurangi 3)
= 9
. 3 = 9.3 (kedua ruas dikali 3)
x = 27
b. 4x – 7 = 2x + 9
4x – 7 + 7 = 2x + 9 + 7 (kedua ruas ditambah 7)
4x = 2x + 16
4x – 2x = 2x – 2x + 16 (kedua ruas dikurangi 2x)
2x = 16
2x . = 16 .
x = 8
3. Himpunan penyelesaian persamaan linear
Menentukan himpunan penyelesaian persamaan linear berarti mencari harga yang memenuhi untuk pengganti variabel pada persamaan linear yang bersangkutan.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. 2x + 4 = x + 7
b.
Jawab:
a. 2x + 4 - 4 = x + 7 - 4
2x = x + 3
2x - x = 3
x = 3
HP = {3}
b.
2(2x- 1) = 5(x + 1)
4x – 2 = 5x + 5
4x – 5x = 2 + 5
-x = 7
x = -7
HP = {-7}
B. Pertidaksamaan Linear
1. Pengertian Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear adalah suatu pertidaksamaan yang variabelnya paling tinggi berderajat satu.
Bentuk umum :
ax + b (R) 0 ; a, b R, a 0
a = koefisien dari x
x = variabel
b = konstanta
(R) = salah satu relasi pertidakamaan ( , , , )
Contoh:
5x + 5 25
3x – 3 12
x + y 8
2. Sifat-sifat Pertidaksamaan
a. Arah tanda pertidaksaman tetapjika ruas kiri dan ruas kanan pertidaksamaan ditambah , dikurangi, dikalikan, atau dibagi dengan bilangan positif yang sama.
1) a b a + c b + c
2) a b a – d b - d
3) a b dan c 0 ac bc
4) a b dan d 0
b. Arah tanda pertidaksamaan berubah jika ruas kiri dan ruas kanan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama.
1) a b dan c 0 ac bc
2) a b dan d 0
Contoh:
1) Selesaikan 6x + 2 4x + 10 !
Jawab:
6x + 2 4x + 10
6x + 2 – 2 4x + 10 - 2
6x 4x + 8
6x – 4x 4x – 4x + 8
2x 8
.2x .8
x 4
2) Selesaikan 6x – 5 9x + 10 !
Jawab:
6x – 5 9x + 10
6x – 5 + 5 9x + 10 + 5
6x 9x + 15
6x – 9x 9x – 9x + 15
-3x 15
(-3x) (15)
x 5
3. Himpunan Penyelesaian Pertidaksaman Linear
Contoh:
1) Tentukan himpunan penyelesaian dari 6x + 4 4x + 20, xB !
Jawab:
6x + 4 4x + 20
6x + 4 - 4 4x + 20 - 4
6x 4x + 16
6x – 4x 4x – 4x + 16
2x 16
.2x .16
x 8
8
Jadi HP = { x x 8, xB}
2) Tentukan himpunan penyelesaian dari 5x + 10 > 8x + 4, xR !
Jawab:
5x + 10 > 8x + 4
5x + 10 – 10 > 8x + 4 - 10
5x > 8x - 6
5x – 8x > 8x – 8x - 6
-3x > -6
(-3x) < (-6)
x < 2
2
Jadi HP ={ x x < 2 , xR}
1. Pengertian persaman linear
Persaman adalah kalimat terbuka yang mengandung hubungan (relasi) sama dengan. Sedangkan persamaan linear adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu atau berderajat satu.
2. Persamaan linear satu variabel
Bentuk umum :
ax + b = 0; a,bR, a 0
a = koefisien dari x
x = variabel
b = konstanta
Contoh:
a. 4x + 8 = 0
b. 68 -18 = 0
Kedua persamaan di atas akan bernilai benar jika variabelnya berturut-turut diganti dengan -2 dan 3.
Sifat-sifat persamaan linear
a. Nilai persamn tidak berubah, jika :
1) Kedua ruas ditambah atau dikurangi bilangan yang sama.
2) Kedua ruas dikalikan atau dibagi bilangan yang sama.
b. Suatu persamaan jika dipindahkan ruas, maka :
1) Penjumlahan berubah menjadi pengurangan dan sebaliknya.
2) Perkalian berubah menjadi pembagian dan sebaliknya.
Contoh:
a. + 3 = 12
+ 3 – 3 = 12 – 3 (kedua ruas dikurangi 3)
= 9
. 3 = 9.3 (kedua ruas dikali 3)
x = 27
b. 4x – 7 = 2x + 9
4x – 7 + 7 = 2x + 9 + 7 (kedua ruas ditambah 7)
4x = 2x + 16
4x – 2x = 2x – 2x + 16 (kedua ruas dikurangi 2x)
2x = 16
2x . = 16 .
x = 8
3. Himpunan penyelesaian persamaan linear
Menentukan himpunan penyelesaian persamaan linear berarti mencari harga yang memenuhi untuk pengganti variabel pada persamaan linear yang bersangkutan.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. 2x + 4 = x + 7
b.
Jawab:
a. 2x + 4 - 4 = x + 7 - 4
2x = x + 3
2x - x = 3
x = 3
HP = {3}
b.
2(2x- 1) = 5(x + 1)
4x – 2 = 5x + 5
4x – 5x = 2 + 5
-x = 7
x = -7
HP = {-7}
B. Pertidaksamaan Linear
1. Pengertian Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear adalah suatu pertidaksamaan yang variabelnya paling tinggi berderajat satu.
Bentuk umum :
ax + b (R) 0 ; a, b R, a 0
a = koefisien dari x
x = variabel
b = konstanta
(R) = salah satu relasi pertidakamaan ( , , , )
Contoh:
5x + 5 25
3x – 3 12
x + y 8
2. Sifat-sifat Pertidaksamaan
a. Arah tanda pertidaksaman tetapjika ruas kiri dan ruas kanan pertidaksamaan ditambah , dikurangi, dikalikan, atau dibagi dengan bilangan positif yang sama.
1) a b a + c b + c
2) a b a – d b - d
3) a b dan c 0 ac bc
4) a b dan d 0
b. Arah tanda pertidaksamaan berubah jika ruas kiri dan ruas kanan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama.
1) a b dan c 0 ac bc
2) a b dan d 0
Contoh:
1) Selesaikan 6x + 2 4x + 10 !
Jawab:
6x + 2 4x + 10
6x + 2 – 2 4x + 10 - 2
6x 4x + 8
6x – 4x 4x – 4x + 8
2x 8
.2x .8
x 4
2) Selesaikan 6x – 5 9x + 10 !
Jawab:
6x – 5 9x + 10
6x – 5 + 5 9x + 10 + 5
6x 9x + 15
6x – 9x 9x – 9x + 15
-3x 15
(-3x) (15)
x 5
3. Himpunan Penyelesaian Pertidaksaman Linear
Contoh:
1) Tentukan himpunan penyelesaian dari 6x + 4 4x + 20, xB !
Jawab:
6x + 4 4x + 20
6x + 4 - 4 4x + 20 - 4
6x 4x + 16
6x – 4x 4x – 4x + 16
2x 16
.2x .16
x 8
8
Jadi HP = { x x 8, xB}
2) Tentukan himpunan penyelesaian dari 5x + 10 > 8x + 4, xR !
Jawab:
5x + 10 > 8x + 4
5x + 10 – 10 > 8x + 4 - 10
5x > 8x - 6
5x – 8x > 8x – 8x - 6
-3x > -6
(-3x) < (-6)
x < 2
2
Jadi HP ={ x x < 2 , xR}
Selasa, 23 November 2010
logaritma
Logaritma
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Grafik logaritma terhadap basis yang berbeda. merah adalah terhadap basis e, hijau adalah terhadap basis 10, dan ungu adalah terhadap basis 1.7. Perhatikan bahwa grafik logaritma terhadap basis yang berbeda selalu melewati titik (1,0)
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Rumus dasar logaritma:
bc= a ditulis sebagai blog a = c (b disebut basis)
Beberapa orang menuliskan blog a = c sebagai logba = c.
Daftar isi [sembunyikan]
1 Basis
2 Notasi
3 Mencari nilai logaritma
4 Rumus
5 Kegunaan logaritma
5.1 Sains dan teknik
5.2 Penghitungan yang lebih mudah
5.3 Kalkulus
6 Penghitungan nilai logaritma
7 Lihat pula
[sunting]Basis
Basis yang sering dipakai atau paling banyak dipakai adalah basis 10, e≈ 2.71828... dan 2.
[sunting]Notasi
Di Indonesia, kebanyakan buku pelajaran Matematika menggunakan notasi blog a daripada logba. Buku-buku Matematika berbahasa Inggris menggunakan notasi logba
Beberapa orang menulis ln a sebagai ganti elog a, log a sebagai ganti 10log a dan ld a sebagai ganti 2log a.
Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis 10 dan LN menunjuk kepada logaritma berbasis e.
Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C,C++,Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis e.
Terkadang Log x (huruf besar L) menunjuk kepada 10log x dan log x (huruf kecil L) menunjuk kepada elog x.
[sunting]Mencari nilai logaritma
Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:
Tabel
Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log)
[sunting]Rumus
xlog x = 1
x^nlog xm = m/n
blog x + blog y = blog (x.y)
blog x - blog y = blog (x:y)
(alog b)(blog c) = alog c
b log xn = n.blog x
b log x = klog x : klog b
[sunting]Kegunaan logaritma
Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.
[sunting]Sains dan teknik
Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.
Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.
Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.
Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.
Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.
[sunting]Penghitungan yang lebih mudah
Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::
Penghitungan dengan angka Penghitungan dengan eksponen Identitas Logaritma
Sifat-sifat diatas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.
Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.
[sunting]Kalkulus
Turunan fungsi logaritma adalah
dimana ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis e. Jika b = e, maka rumus diatas dapat disederhanakan menjadi
Integral fungsi logaritma adalah
Integral logaritma berbasis e adalah
Sebagai contoh carilah turunan
log(x)
[sunting]Penghitungan nilai logaritma
Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.
Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian.
[sunting]Lihat pula
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Grafik logaritma terhadap basis yang berbeda. merah adalah terhadap basis e, hijau adalah terhadap basis 10, dan ungu adalah terhadap basis 1.7. Perhatikan bahwa grafik logaritma terhadap basis yang berbeda selalu melewati titik (1,0)
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Rumus dasar logaritma:
bc= a ditulis sebagai blog a = c (b disebut basis)
Beberapa orang menuliskan blog a = c sebagai logba = c.
Daftar isi [sembunyikan]
1 Basis
2 Notasi
3 Mencari nilai logaritma
4 Rumus
5 Kegunaan logaritma
5.1 Sains dan teknik
5.2 Penghitungan yang lebih mudah
5.3 Kalkulus
6 Penghitungan nilai logaritma
7 Lihat pula
[sunting]Basis
Basis yang sering dipakai atau paling banyak dipakai adalah basis 10, e≈ 2.71828... dan 2.
[sunting]Notasi
Di Indonesia, kebanyakan buku pelajaran Matematika menggunakan notasi blog a daripada logba. Buku-buku Matematika berbahasa Inggris menggunakan notasi logba
Beberapa orang menulis ln a sebagai ganti elog a, log a sebagai ganti 10log a dan ld a sebagai ganti 2log a.
Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis 10 dan LN menunjuk kepada logaritma berbasis e.
Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C,C++,Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis e.
Terkadang Log x (huruf besar L) menunjuk kepada 10log x dan log x (huruf kecil L) menunjuk kepada elog x.
[sunting]Mencari nilai logaritma
Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:
Tabel
Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log)
[sunting]Rumus
xlog x = 1
x^nlog xm = m/n
blog x + blog y = blog (x.y)
blog x - blog y = blog (x:y)
(alog b)(blog c) = alog c
b log xn = n.blog x
b log x = klog x : klog b
[sunting]Kegunaan logaritma
Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.
[sunting]Sains dan teknik
Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.
Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.
Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.
Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.
Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.
[sunting]Penghitungan yang lebih mudah
Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::
Penghitungan dengan angka Penghitungan dengan eksponen Identitas Logaritma
Sifat-sifat diatas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.
Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.
[sunting]Kalkulus
Turunan fungsi logaritma adalah
dimana ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis e. Jika b = e, maka rumus diatas dapat disederhanakan menjadi
Integral fungsi logaritma adalah
Integral logaritma berbasis e adalah
Sebagai contoh carilah turunan
log(x)
[sunting]Penghitungan nilai logaritma
Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.
Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian.
[sunting]Lihat pula
Langganan:
Postingan (Atom)